109學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把四個圓心連成正方形

   設古幣半徑為 $r$。四個圓大小相同、排成 $2\times2$，相鄰的兩圓外切，所以相鄰兩圓的圓心距離等於 $2r$。把四個圓心連起來，就是一個邊長 $2r$ 的正方形。
2. 2

   算對角兩圓的最短距離

   正方形的對角線長是邊長的 $\sqrt{2}$ 倍，也就是 $2\sqrt{2}r$，這就是對角兩圓的圓心距離。對角兩圓沒有相切，它們之間的最短距離等於圓心距離扣掉兩個半徑，即 $2\sqrt{2}r-2r$。
3. 3

   列方程並解

   依題意 $2\sqrt{2}r-2r=1$。左邊提出 $2r$ 得 $2r(\sqrt{2}-1)=1$，所以 $r=\dfrac{1}{2(\sqrt{2}-1)}$。
4. 4

   分母有理化

   分子分母同乘 $\sqrt{2}+1$：$r=\dfrac{1}{2(\sqrt{2}-1)}\times\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2(2-1)}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}$，單位是公分。故選 (D)。

關鍵觀念：#兩圓相切 #根式運算