109學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   弧長與圓心角成正比

   圓 $O$ 的半徑為 $10$。$\widehat{AB}$ 所對的圓心角是 $120^\circ$、$\widehat{CD}$ 所對的圓心角是 $60^\circ$；弧長與圓心角成正比，而 $120^\circ$ 是 $60^\circ$ 的 $2$ 倍，所以 $\widehat{AB}$ 長確實是 $\widehat{CD}$ 長的 $2$ 倍，(A) 的敘述成立。
2. 2

   算兩個等腰三角形的底角

   $\overline{OC}=\overline{OD}=10$ 且 $\angle COD=60^\circ$，所以 $\triangle OCD$ 是正三角形，$\angle OCD=60^\circ$ 且 $\overline{CD}=10$。$\overline{OA}=\overline{OB}=10$ 且 $\angle AOB=120^\circ$，所以 $\angle OAB=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$。於是 $\angle OCD=2\angle OAB$，(B) 的敘述成立。
3. 3

   扇形面積也與圓心角成正比

   扇形面積同樣與圓心角成正比，$120^\circ$ 對 $60^\circ$ 仍是 $2$ 倍，所以扇形 $AOB$ 的面積是扇形 $COD$ 面積的 $2$ 倍，(C) 的敘述成立。
4. 4

   把弦 AB 真的算出來

   由 $O$ 向 $\overline{AB}$ 作垂線，垂足為 $H$，則 $\angle AOH=60^\circ$、$\angle OAH=30^\circ$。在直角三角形 $OAH$ 中，$30^\circ$ 角所對的邊是斜邊的一半，故 $\overline{OH}=5$，再由畢氏定理得 $\overline{AH}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，所以 $\overline{AB}=10\sqrt{3}$。
5. 5

   比較後下結論

   $\overline{CD}=10$，所以 $2\overline{CD}=20$；但 $\overline{AB}=10\sqrt{3}\approx17.3$，並不等於 $20$。題目要找的是錯誤的敘述，故選 (D)。

關鍵觀念：#圓心角 #弧長 #扇形面積

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