109學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   利用圓心落在 x 軸上的對稱

   圓心 $P(b,0)$ 落在 $x$ 軸上，而 $x$ 軸垂直於 $y$ 軸。圓心到弦 $\overline{AB}$ 的垂線會把這條弦平分，所以 $A(0,15)$ 與 $B(0,a)$ 對 $x$ 軸對稱，得 $a=-15$。
2. 2

   用半徑相等列式

   $\overline{PA}$ 與 $\overline{PC}$ 都是半徑。由畢氏定理 $\overline{PA}^2=b^2+15^2=b^2+225$；而 $C(25,0)$ 與 $P(b,0)$ 都在 $x$ 軸上，所以 $\overline{PC}^2=(25-b)^2$。
3. 3

   解出 b

   令兩者相等：$b^2+225=(25-b)^2=625-50b+b^2$。兩邊消去 $b^2$ 得 $225=625-50b$，所以 $50b=400$，$b=8$。
4. 4

   代回求 a 減 b

   把 $a=-15$、$b=8$ 代入：$a-b=(-15)-8=-23$。故選 (A)。

關鍵觀念：#坐標平面 #圓與直線