109學年鷺江國中第2次段考數學 第24題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把圓分成四段弧

   $A$、$B$、$C$、$D$ 四點把圓分成四段弧，依序記成 $\widehat{BA}=p$、$\widehat{AD}=q$、$\widehat{DC}=r$、$\widehat{CB}=s$，則 $p+q+r+s=360^\circ$。
2. 2

   由角 B 得第一條式子

   $\angle B$ 就是圓周角 $\angle ABC$，它所對的是不含 $B$ 的那段弧，也就是 $q+r$。圓周角等於所對弧的一半，所以 $\dfrac{q+r}{2}=54^\circ$，得 $q+r=108^\circ$。
3. 3

   由角 Q 得第二條式子

   $Q$ 在圓外，兩條割線分別經過 $D$ 到 $A$、經過 $C$ 到 $B$。圓外角等於遠弧減近弧再除以 $2$：遠的兩點是 $A$、$B$，對應 $\widehat{BA}=p$；近的兩點是 $D$、$C$，對應 $\widehat{DC}=r$。所以 $\dfrac{p-r}{2}=32^\circ$，得 $p-r=64^\circ$。
4. 4

   把角 P 也寫成弧

   $P$ 同樣在圓外，兩條割線分別經過 $A$ 到 $B$、經過 $D$ 到 $C$。遠的兩點是 $B$、$C$，對應 $\widehat{CB}=s$；近的兩點是 $A$、$D$，對應 $\widehat{AD}=q$。所以 $\angle P=\dfrac{s-q}{2}$。
5. 5

   代入求值

   由 $q+r=108^\circ$ 得 $q=108^\circ-r$；由 $p-r=64^\circ$ 得 $p=r+64^\circ$；再由四段弧和為 $360^\circ$ 得 $s=360^\circ-p-q-r=360^\circ-(r+64^\circ)-108^\circ$。於是 $s-q=\left[360^\circ-(r+64^\circ)-108^\circ\right]-(108^\circ-r)=80^\circ$，所以 $\angle P=\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ$。

關鍵觀念：#圓外角 #圓內接四邊形