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109學年鷺江國中第2次段考數學 第25題 詳解

直徑與圓外角求值（如圖） · 填充 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，AB‾\overline{AB}為圓O的直徑，C、D兩點在圓上，且AC↔\overleftrightarrow{AC}與BD↔\overleftrightarrow{BD}交於P點。若∠COD=70°，則∠P=_________。
圓O，$\overline{AB}$為通過圓心的垂直直徑（A在上方、B在下方）。C點在圓上的右上方、D點在圓上的右下方。線段AC向右延伸、線段BD向右延伸，兩線在圓外的P點（圓的右側）相交。圓內另畫出OC、OD兩條半徑。
右圖

答案55°55°看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    直徑對應的弧是半圓

    AB‾\overline{AB} 是圓 OO 的直徑，會把圓分成兩個半圓，所以不含 CC、DD 的那段 AB^\widehat{AB} 的度數是 180∘180^\circ。
  2. 2

    由圓心角得 CD 的弧

    ∠COD\angle COD 是 CD^\widehat{CD} 所對的圓心角，而弧的度數等於它所對圓心角的度數，所以 CD^=70∘\widehat{CD}=70^\circ。
  3. 3

    用圓外角公式

    PP 在圓外，兩條割線分別經過 CC 到 AA、經過 DD 到 BB。遠的兩點是 AA、BB，近的兩點是 CC、DD，所以 ∠P=AB^−CD^2=180∘−70∘2=110∘2=55∘\angle P=\dfrac{\widehat{AB}-\widehat{CD}}{2}=\dfrac{180^\circ-70^\circ}{2}=\dfrac{110^\circ}{2}=55^\circ。
答案
55°55°

關鍵觀念：#直徑 #圓周角 #圓外角

常見卡點
最常見的錯是只看到 70∘70^\circ，就把 ∠P\angle P 當成 CD^\widehat{CD} 的圓周角而答成 35∘35^\circ。PP 在圓外不在圓上，要用的是「遠弧減近弧再除以 22」。另一個坑是忘了把直徑換算成 180∘180^\circ 的弧，少了這一塊就湊不出遠弧，整條式子根本列不出來。

還是卡住嗎？

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