109學年鷺江國中第2次段考數學 第26題 詳解

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逐步解析

1. 1

   找出相似三角形

   $\overline{PA}$ 切圓於 $A$，弦切角 $\angle PAC$ 等於它所夾弧 $\widehat{AC}$ 所對的圓周角 $\angle ABC$，也就是 $\angle PBA$。又 $\triangle PAC$ 與 $\triangle PBA$ 共用 $\angle P$，所以 $\triangle PAC\sim\triangle PBA$。
2. 2

   由相似比求出整條割線

   由相似得 $\dfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PA}}$，交叉相乘即 $\overline{PA}^2=\overline{PC}\times\overline{PB}$。代入數值 $40^2=20\times\overline{PB}$，得 $\overline{PB}=\dfrac{1600}{20}=80$。
3. 3

   算出弦 BC 的長

   $P$、$C$、$B$ 三點共線，且 $C$ 落在 $P$ 與 $B$ 之間，所以 $\overline{BC}=\overline{PB}-\overline{PC}=80-20=60$。
4. 4

   用畢氏定理求弦心距

   由 $O$ 向 $\overline{BC}$ 作垂線，垂足為 $D$，則 $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\overline{BD}=\dfrac{60}{2}=30$。連 $\overline{OB}$ 為半徑 $34$，在直角三角形 $OBD$ 中 $\overline{OD}=\sqrt{34^2-30^2}=\sqrt{1156-900}=\sqrt{256}=16$。所以 $\overline{BC}$ 的弦心距為 $16$。

關鍵觀念：#切線 #割線 #弦心距 #畢氏定理

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