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111學年鷺江國中第1次段考數學 第6題 詳解

投籃拋物線路徑判斷函數式 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
右圖(一)是一坐標平面，凱哥將球從 AA 點的位置投出，球經過的路徑是拋物線，由 BB 點空心進籃。若此拋物線是下列某一函數的圖形，則此函數可能為何？
(A) y=6−12(x+1)2y=6-\dfrac{1}{2}(x+1)^2
(B) y=6−12(x−1)2y=6-\dfrac{1}{2}(x-1)^2
(C) y=6+12(x+1)2y=6+\dfrac{1}{2}(x+1)^2
(D) y=6+12(x−1)2y=6+\dfrac{1}{2}(x-1)^2
坐標平面上一條開口向下的拋物線路徑。A 點在 y 軸左側、x 軸上方，明顯高出 x 軸一段，也就是位於第二象限，不是在 x 軸下方。曲線由 A 向右上方彎升，穿過 y 軸後在 y 軸右側達到最高點（頂點在 y 軸右側不遠處），再向右下方彎降進入籃框；B 點標示在下降段、接近籃框上緣處。圖右側另有籃球架與籃網的裝飾圖案，下方有圖說「圖(一)」。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先從圖看開口方向

    圖中球的路徑先上升、到最高點後再下降，是一條開口向下的拋物線，所以二次項係數必須是負的。把四個選項整理成頂點式：(A) y=−12(x+1)2+6y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+6、(B) y=−12(x−1)2+6y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+6、(C) y=12(x+1)2+6y=\frac{1}{2}(x+1)^2+6、(D) y=12(x−1)2+6y=\frac{1}{2}(x-1)^2+6。其中 (C)、(D) 的係數是正的，開口向上，和圖形不合，先刪掉。
  2. 2

    再看頂點在哪一側

    剩下的 (A) 與 (B) 最高點高度都是 66，差別在對稱軸的位置：(A) 的頂點是 (−1,6)(-1,6)，在 yy 軸左邊；(B) 的頂點是 (1,6)(1,6)，在 yy 軸右邊。
  3. 3

    對照圖上的最高點

    圖中球從 yy 軸左側的 AA 點投出，一路往上爬，先穿過 yy 軸之後才到達最高點，接著才下降進籃。也就是最高點落在 yy 軸的右邊，頂點的 xx 坐標是正的。
  4. 4

    選出符合的函數

    頂點在 yy 軸右邊，代表括號裡要寫成 x−1x-1，才會在 x=1x=1 時括號為 00。符合的是 y=6−12(x−1)2y=6-\frac{1}{2}(x-1)^2。再檢查一次：x=0x=0 時 y=6−12=5.5y=6-\frac{1}{2}=5.5，球通過 yy 軸時的高度比最高點 66 略低，和圖形一致。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#二次函數 #拋物線 #生活情境

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常見卡點
這題的關鍵不是算，而是從圖上抓穩兩件事：開口方向，以及頂點落在 yy 軸的哪一邊。最常見的錯是把 (x+1)(x+1) 當成往右移而選 (A)，結果頂點跑到 yy 軸左邊，和圖上「穿過 yy 軸之後才到最高點」互相矛盾。括號內是 x+1x+1 時要 x=−1x=-1 才等於 00，頂點在左邊；括號內是 x−1x-1 才是右邊。另外別被 y=6−12(x−1)2y=6-\frac{1}{2}(x-1)^2 這種把常數寫在前面的形式唬住，整理成頂點式再判讀就清楚了。

還是卡住嗎？

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