111學年鷺江國中第1次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   交點個數看什麼

   四個式子都是頂點式 $y=a(x-h)^2+k$，圖形是開口向上（$a>0$）或向下（$a<0$）的拋物線，頂點在 $(h,k)$。圖形要和 $x$ 軸有兩個交點，就必須「開口向上而頂點在 $x$ 軸下方」，或「開口向下而頂點在 $x$ 軸上方」，也就是 $a$ 與 $k$ 的正負號相反。
2. 2

   檢查前兩個選項

   (A) $y=17(x+112)^2+2023$ 的 $a=17>0$、$k=2023>0$，開口向上但最低點就在 $y=2023$，整條曲線都在 $x$ 軸上方，沒有交點。(B) $y=17(x-112)^2+2023$ 同樣是 $a=17>0$、$k=2023>0$，只是頂點左右位置不同，一樣沒有交點。
3. 3

   檢查第四個選項

   (D) $y=-17(x-112)^2-2023$ 的 $a=-17<0$、$k=-2023<0$，開口向下而最高點只到 $y=-2023$，整條曲線都在 $x$ 軸下方，也沒有交點。
4. 4

   確認正解

   (C) $y=-17(x+112)^2+2023$ 的 $a=-17<0$、$k=2023>0$，開口向下而最高點 $2023$ 在 $x$ 軸上方，曲線從頂點往左右一路降到 $x$ 軸下方，因此左右各切過 $x$ 軸一次，恰有兩個交點。實際解 $-17(x+112)^2+2023=0$ 得 $(x+112)^2=\frac{2023}{17}=119$，$x=-112\pm\sqrt{119}$，確實有兩個實數解。故選 (C)。

關鍵觀念：#二次函數 #與x軸交點

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