112學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用切線長定理設未知數

   從圓外一點拉出的兩條切線，切線長相等。$A$ 點拉出的兩段是 $\overline{AD}$ 與 $\overline{AF}$，$B$ 點拉出的是 $\overline{BD}$ 與 $\overline{BE}$，$C$ 點拉出的是 $\overline{CE}$ 與 $\overline{CF}$。設 $$\overline{AD}=\overline{AF}=x,\quad \overline{BD}=\overline{BE}=y,\quad \overline{CE}=\overline{CF}=z$$ 注意配對要「同一個頂點的兩段」配在一起。
2. 2

   把三邊長寫成方程式

   每一邊都被切點切成兩段：$$\overline{AB}=x+y=6,\quad \overline{BC}=y+z=11,\quad \overline{CA}=z+x=9$$
3. 3

   三式相加求總和

   把三式左右相加：$$2(x+y+z)=6+11+9=26$$ 所以 $x+y+z=13$，這正好是三角形的半周長。
4. 4

   解出 BD 並驗算

   $y=(x+y+z)-(z+x)=13-9=4$，所以 $\overline{BD}=4$。順帶得 $x=13-11=2$、$z=13-6=7$。驗算：$x+y=2+4=6$、$y+z=4+7=11$、$z+x=7+2=9$，三邊全部吻合。

關鍵觀念：#內切圓 #切線長定理

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