112學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

逐步解析

1. 1

   看懂弓形是怎麼圍出來的

   圖中深灰色的弓形，邊界有兩條：一條是弦 $\overline{AB}$，另一條是 $A$、$B$ 之間比較短的那段弧（也就是 $90°$ 圓心角所對的弧）。所以弓形周長就是「弧長加弦長」，弓形面積則是「扇形 $OAB$ 的面積減掉 $\triangle OAB$ 的面積」。
2. 2

   算弧長

   整個圓的周長是 $2\pi r=2\pi\times 12=24\pi$。圓心角 $90°$ 佔整圓的 $\dfrac{90}{360}=\dfrac{1}{4}$，所以 $$\widehat{AB}=24\pi\times\dfrac{1}{4}=6\pi$$
3. 3

   算弦長

   $\overline{OA}=\overline{OB}=12$ 且 $\angle AOB=90°$，$\triangle OAB$ 是等腰直角三角形，弦 $\overline{AB}$ 是斜邊：$$\overline{AB}=\sqrt{12^2+12^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}$$ 所以弓形周長 $=6\pi+12\sqrt{2}$，這就是 (E) 的答案。
4. 4

   算扇形面積與三角形面積

   整圓面積 $\pi r^2=\pi\times 12^2=144\pi$，扇形佔四分之一：$$\text{扇形}OAB=144\pi\times\dfrac{1}{4}=36\pi$$ 三角形部分，兩股 $12$ 夾直角：$$\triangle OAB=\dfrac{1}{2}\times 12\times 12=72$$
5. 5

   相減得弓形面積

   $$\text{弓形面積}=36\pi-72$$ 所以 (E) 的弓形周長是 $6\pi+12\sqrt{2}$，(F) 的弓形面積是 $36\pi-72$。順便檢查數值：$36\pi\approx 113.1$，減去 $72$ 約 $41.1$，是個正數且比扇形小，合理。

關鍵觀念：#弓形 #扇形面積 #弧長