112學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先用第一條弦求半徑

   $\overline{OM}$ 是弦 $\overline{AB}$ 的弦心距，會垂直平分 $\overline{AB}$，所以 $$\overline{AM}=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$$ 連 $\overline{OA}$ 得半徑，$\triangle OMA$ 在 $M$ 處是直角。
2. 2

   算出半徑

   由畢氏定理 $$r^2=\overline{OM}^2+\overline{AM}^2=5^2+(5\sqrt{3})^2=25+75=100$$ 所以 $r=10$。
3. 3

   換到第二條弦求半弦長

   同一個圓，半徑不變仍是 $10$。$\overline{ON}=8$ 是弦 $\overline{CD}$ 的弦心距，連 $\overline{OC}$，$\triangle ONC$ 在 $N$ 處是直角：$$\overline{CN}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$$
4. 4

   把半弦長還原成整條弦

   $N$ 是 $\overline{CD}$ 的中點，所以 $$\overline{CD}=2\times 6=12$$ 檢查一下合理性：$\overline{ON}=8$ 比 $\overline{OM}=5$ 大，弦心距愈大弦愈短，果然 $12<10\sqrt{3}\approx 17.3$，方向正確。

關鍵觀念：#弦心距 #弦長

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