112學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

答案$4:9$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先看清楚 F 的位置

   由圖可知 $F$ 在 $\overline{BE}$ 的延長線上，同時也在 $\overline{CD}$ 的延長線上，落在平行四邊形外面、$D$ 的上方。因為 $ABCD$ 是平行四邊形，$\overline{AB}\parallel\overline{CD}$，而 $\overline{DF}$ 就在直線 $CD$ 上，所以 $$\overline{AB}\parallel\overline{DF}$$
2. 2

   證明兩個三角形相似

   看 $\triangle ABE$ 與 $\triangle DFE$：$\angle AEB$ 與 $\angle DEF$ 是對頂角，相等；$\overline{AB}\parallel\overline{DF}$ 被 $\overline{BF}$ 所截，$\angle ABE=\angle DFE$（內錯角）。兩角對應相等，由 AA 得 $\triangle ABE\sim\triangle DFE$，對應關係是 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow F$、$E\leftrightarrow E$。
3. 3

   求出對應邊 AE 與 DE

   平行四邊形的對邊等長，所以 $\overline{AD}=\overline{BC}=15$。又 $E$ 在 $\overline{AD}$ 上且 $\overline{DE}=9$，因此 $$\overline{AE}=\overline{AD}-\overline{DE}=15-9=6$$ 相似比就是 $\overline{AE}:\overline{DE}=6:9=2:3$。
4. 4

   面積比是相似比的平方

   $$\triangle ABE:\triangle DEF=2^2:3^2=4:9$$ 所以兩個三角形的面積比是 $4:9$。注意誘答：直接把題目給的 $15$ 與 $9$ 當成相似比，會得到 $15:9=5:3$，平方後是 $25:9$；但 $\overline{BC}$ 並不是 $\triangle ABE$ 的邊，真正與 $\overline{DE}$ 對應的是 $\overline{AE}=6$。

關鍵觀念：#平行四邊形 #相似三角形 #面積比

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