112學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

答案$150\sqrt{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   用三角比解直角三角形 ABC

   $\triangle ABC$ 中 $\angle B=90°$，斜邊是 $\overline{AC}=20$，且 $\angle ACB=30°$。$\overline{AB}$ 是 $30°$ 角的對邊、$\overline{BC}$ 是鄰邊：$$\overline{AB}=20\sin 30°=20\times\dfrac{1}{2}=10$$ $$\overline{BC}=20\cos 30°=20\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$
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   算正三角形 ACD 的面積

   $\triangle ACD$ 是正三角形，邊長就是 $\overline{AC}=20$。正三角形面積公式 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$：$$\triangle ACD=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 20^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 400=100\sqrt{3}$$
3. 3

   算直角三角形 ABC 的面積

   兩股是 $\overline{AB}=10$ 與 $\overline{BC}=10\sqrt{3}$：$$\triangle ABC=\dfrac{1}{2}\times 10\times 10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$$
4. 4

   兩塊相加並用梯形公式驗算

   梯形 $ABCD$ 由這兩塊拼成：$$100\sqrt{3}+50\sqrt{3}=150\sqrt{3}$$ 換個方法驗算：$\overline{AB}\parallel\overline{DC}$，而 $\angle B=90°$ 表示 $\overline{BC}\perp\overline{AB}$，因此 $\overline{BC}$ 同時垂直兩底，就是梯形的高。上底 $\overline{AB}=10$、下底 $\overline{DC}=20$、高 $\overline{BC}=10\sqrt{3}$：$$\dfrac{1}{2}\times(10+20)\times 10\sqrt{3}=150\sqrt{3}$$ 兩種算法一致，梯形 $ABCD$ 面積為 $150\sqrt{3}$。

關鍵觀念：#正三角形 #直角三角形 #梯形面積