112學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

答案$10+2\sqrt{13}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   由 DE 反推 AB

   $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點、$E$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，所以 $\overline{DE}$ 是連接兩邊中點的中點連線，平行且等於第三邊 $\overline{AB}$ 的一半。由 $\overline{DE}=2$ 得 $$\overline{AB}=2\times 2=4$$
2. 2

   由 DF 反推 AC

   $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點、$F$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，所以 $\overline{DF}$ 平行且等於 $\overline{AC}$ 的一半。由 $\overline{DF}=3$ 得 $$\overline{AC}=2\times 3=6$$
3. 3

   用直角求 EF 再推 BC

   $\angle FDE=90°$，所以 $\triangle DEF$ 在 $D$ 處是直角，$\overline{EF}$ 是斜邊：$$\overline{EF}=\sqrt{\overline{DE}^2+\overline{DF}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$$ 而 $\overline{EF}$ 連的是 $\overline{AC}$ 與 $\overline{AB}$ 的中點，等於 $\overline{BC}$ 的一半，所以 $\overline{BC}=2\sqrt{13}$。
4. 4

   相加得周長

   $$\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC}=4+6+2\sqrt{13}=10+2\sqrt{13}$$ 所以 $\triangle ABC$ 的周長是 $10+2\sqrt{13}$。也可以這樣檢查：$\triangle DEF$ 的周長是 $2+3+\sqrt{13}=5+\sqrt{13}$，剛好是 $\triangle ABC$ 周長的一半，符合中點三角形的性質。

關鍵觀念：#中點連線 #三角形周長