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112學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

圓內接四邊形對角求值 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(五)，四邊形ABCDABCD為圓OO的內接四邊形，若∠C=90°\angle C=90°，∠A\angle A比∠B\angle B多20°20°，則∠D=?\angle D=?
(A) 90°90°
(B) 100°100°
(C) 110°110°
(D) 120°120°

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先用對角互補求 ∠A

    ABCDABCD 是圓 OO 的內接四邊形，對角互補，所以 ∠A+∠C=180°\angle A+\angle C=180°。已知 ∠C=90°\angle C=90°，得 ∠A=180°−90°=90°\angle A=180°-90°=90°
  2. 2

    用題目的差求 ∠B

    題目說 ∠A\angle A 比 ∠B\angle B 多 20°20°，也就是 ∠A=∠B+20°\angle A=\angle B+20°。代入 ∠A=90°\angle A=90°：∠B=90°−20°=70°\angle B=90°-20°=70°
  3. 3

    再用一次對角互補求 ∠D

    ∠B\angle B 與 ∠D\angle D 也是一組對角，同樣互補：∠D=180°−∠B=180°−70°=110°\angle D=180°-\angle B=180°-70°=110° 故選 (C)。
  4. 4

    驗算並看誘答

    檢查四個內角和：90°+70°+90°+110°=360°90°+70°+90°+110°=360°，四邊形內角和正確。(B) 的 100°100° 來自把相鄰的 ∠A\angle A、∠B\angle B 當成互補：由 ∠A+∠B=180°\angle A+\angle B=180° 配上 ∠A=∠B+20°\angle A=\angle B+20° 解得 ∠B=80°\angle B=80°、∠A=100°\angle A=100°，再用 ∠B+∠D=180°\angle B+\angle D=180° 得 ∠D=100°\angle D=100°。但互補的是對角 AA 與 CC、BB 與 DD，相鄰的 AA、BB 之間沒有這個關係。
答案
(C)

關鍵觀念：#圓內接四邊形 #對角互補

常見卡點
最容易漏掉的是「對角」到底是哪兩個。四邊形 ABCD 按順序繞一圈，A 與 C 是一組對角、B 與 D 是另一組，相鄰的 A 與 B 之間沒有互補關係。有人看到「A 比 B 多二十度」就急著把 A 加 B 當成一百八十度去解，那是把相鄰角當成對角。正確順序是：先用 A 與 C 互補算出 A，再用差算 B，最後用 B 與 D 互補算 D，並用四角和三百六十度驗算一次。

還是卡住嗎？

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