112學年鷺江國中第2次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把 BC 切成 21 等份

   $\overline{CG}:\overline{GH}:\overline{HB}=5:9:7$，所以把 $\overline{BC}$ 看成 $5+9+7=21$ 份，$\overline{CG}=5$ 份、$\overline{GH}=9$ 份、$\overline{HB}=7$ 份。以下長度都用「份」來記。
2. 2

   找出兩個平行四邊形

   $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$，所以 $\overline{EF}\parallel\overline{BH}$；又 $\overline{FH}\parallel\overline{AB}$，即 $\overline{FH}\parallel\overline{EB}$。兩組對邊分別平行，$EBHF$ 是平行四邊形，於是 $\overline{EF}=\overline{BH}=7$ 份。同理 $\overline{DF}\parallel\overline{CG}$、$\overline{FG}\parallel\overline{DC}$，$DFGC$ 也是平行四邊形，$\overline{DF}=\overline{CG}=5$ 份。
3. 3

   算出 DE 的長度

   $F$ 在 $\overline{DE}$ 上，所以 $$\overline{DE}=\overline{DF}+\overline{FE}=5+7=12\ \text{份}$$ 於是 $\overline{DE}:\overline{BC}=12:21=4:7$。
4. 4

   兩個三角形都和 △ABC 相似

   $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，相似比就是 $\overline{DE}:\overline{BC}=4:7$。另一邊，$\overline{FH}\parallel\overline{AB}$ 使 $\angle FHG=\angle ABC$，$\overline{FG}\parallel\overline{AC}$ 使 $\angle FGH=\angle ACB$，由 AA 得 $\triangle FHG\sim\triangle ABC$，相似比 $\overline{GH}:\overline{BC}=9:21=3:7$。
5. 5

   面積比要把相似比平方

   兩個三角形都和 $\triangle ABC$ 相似，就可以直接互比：對應邊 $\overline{DE}=12$ 份、$\overline{GH}=9$ 份，面積比等於相似比的平方 $$\triangle ADE:\triangle FGH=12^2:9^2=144:81=16:9$$ 故選 (D)。(A) 的 $4:3$ 正是 $12:9$ 化簡後的邊長比，忘了平方就會停在那裡。

關鍵觀念：#平行線截三角形 #相似形 #面積比

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