112學年鷺江國中第2次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先讀懂 C 點在哪裡

   圖上除了兩條切線 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 和兩條半徑 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ 之外，還連了一條 $\overline{OP}$。$C$ 就是 $\overline{OP}$ 與圓周的交點，所以 $\overline{OC}$ 也是半徑。設半徑為 $r$，則 $$\overline{OP}=\overline{OC}+\overline{CP}=r+24$$
2. 2

   切線垂直半徑

   $\overline{PA}$ 切圓 $O$ 於 $A$，切線會垂直過切點的半徑，所以 $\angle OAP=90°$，$\triangle OAP$ 是直角三角形，斜邊是 $\overline{OP}$。由畢氏定理 $$\overline{OA}^2+\overline{PA}^2=\overline{OP}^2$$
3. 3

   解出半徑

   代入 $\overline{OA}=r$、$\overline{PA}=36$、$\overline{OP}=r+24$：$$r^2+36^2=(r+24)^2$$ $$r^2+1296=r^2+48r+576$$ 兩邊消去 $r^2$，得 $48r=1296-576=720$，所以 $r=15$，此時 $\overline{OP}=39$。
4. 4

   拆成兩個直角三角形算面積

   由切線長定理 $\overline{PA}=\overline{PB}=36$，又 $\overline{OA}=\overline{OB}=15$、$\overline{OP}$ 共用，所以 $\triangle OAP\cong\triangle OBP$，兩個都是直角三角形。四邊形 $AOBP$ 就是這兩塊拼起來：$$2\times\dfrac{1}{2}\times 15\times 36=540$$ 故選 (A)。
5. 5

   看誘答怎麼跑出來

   (C) 的 $864$ 來自把 $\overline{PC}=24$ 直接當成半徑：$2\times\dfrac{1}{2}\times 36\times 24=864$。但 $C$ 在 $\overline{OP}$ 上、$24$ 是 $C$ 到 $P$ 的一段，半徑是 $\overline{OC}$，兩段不同，一定要先用畢氏定理把 $r$ 解出來。

關鍵觀念：#切線長定理 #四邊形面積

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