108學年鷺江國中第1次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用頂點式設方程式

   拋物線的頂點是 $A(-3,0)$，圖形開口向上，所以可設 $y=a(x+3)^2$，其中 $a>0$，對稱軸是 $x=-3$。
2. 2

   找出正三角形的高

   $B$、$C$ 都在水平線 $y=2$ 上，所以 $\overline{BC}$ 是水平線段；頂點 $A$ 在 $y=0$ 上，$A$ 到 $\overline{BC}$ 的距離是 $2-0=2$，這就是正三角形 $ABC$ 的高。
3. 3

   由高求出邊長

   設 $\overline{BC}=s$。正三角形的高會把底邊平分，由畢氏定理得 $2^2=s^2-\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}s^2$，所以 $s^2=\dfrac{16}{3}$，$s=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，半條邊長是 $\dfrac{s}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
4. 4

   代入C點求係數

   $C$ 在對稱軸右側，坐標是 $\left(-3+\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\,2\right)$。代入 $y=a(x+3)^2$：$2=a\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2=a\times\dfrac{4}{3}$，解得 $a=\dfrac{3}{2}$。
5. 5

   求與y軸的交點

   拋物線是 $y=\dfrac{3}{2}(x+3)^2$。令 $x=0$，得 $y=\dfrac{3}{2}\times(0+3)^2=\dfrac{3}{2}\times9=\dfrac{27}{2}$。所以與 $y$ 軸的交點是 $\left(0,\dfrac{27}{2}\right)$。故選 (B)。

關鍵觀念：#二次函數 #正三角形 #圖形交點

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