113學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看清楚哪兩點在同一條拋物線上

   圖上兩條拋物線是互相交疊的：左邊那條的頂點是 $P$，它向右延伸出去，所以水平線和它交在 $A$ 與 $C$；右邊那條的頂點是 $Q$，它向左延伸過來，所以水平線和它交在 $B$ 與 $D$。也就是說 $A$、$C$ 同屬左邊那條，$B$、$D$ 同屬右邊那條，四個點由左到右才會排成 $A$、$B$、$C$、$D$。
2. 2

   用對稱性找頂點位置

   拋物線左右對稱，對稱軸是通過頂點的鉛直線。一條水平線截拋物線所得的兩個交點一定對稱於對稱軸，所以頂點的 $x$ 座標，就是那兩個交點 $x$ 座標的平均。因此 $P$ 在 $A$、$C$ 的正中間（左右方向），$Q$ 在 $B$、$D$ 的正中間。
3. 3

   設座標代入計算

   把 $A$ 的 $x$ 座標設為 $0$。由 $\overline{AB}=10$、$\overline{BC}=5$、$\overline{CD}=6$ 依序往右推：$B$ 在 $10$，$C$ 在 $10+5=15$，$D$ 在 $15+6=21$。於是 $P$ 的 $x$ 座標為 $\dfrac{0+15}{2}=7.5$，$Q$ 的 $x$ 座標為 $\dfrac{10+21}{2}=15.5$。
4. 4

   算出 PQ

   $P$、$Q$ 都在 $x$ 軸上，所以 $\overline{PQ}=15.5-7.5=8$。換個寫法會更快：$\overline{PQ}=\dfrac{(10+21)-(0+15)}{2}=\dfrac{(10-0)+(21-15)}{2}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}=\dfrac{10+6}{2}=8$，也就是兩條「外側線段」長度的平均。
5. 5

   檢查誤讀並作結

   這題最大的陷阱是把四個點的歸屬讀錯。若誤以為 $A$、$B$ 同在左邊那條、$C$、$D$ 同在右邊那條，會算出 $P$ 在 $\dfrac{0+10}{2}=5$、$Q$ 在 $\dfrac{15+21}{2}=18$，兩點距離 $18-5=13$，這個值不在選項裡。另一個誤區是只盯著中間那段，直接把 $\overline{PQ}$ 當成 $\overline{BC}=5$，$5$ 同樣不在選項裡。兩次算出來都對不上，就該回頭重看圖上兩條曲線怎麼交錯。故選 (B)。

關鍵觀念：#二次函數 #對稱性 #線段長度

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