113學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把表面拆成四塊

   這個鏤空立體的表面可以分成四塊，一塊一塊算再相加：第一塊是圓柱的外側面；第二塊和第三塊是上、下兩個底面，它們是「整個圓挖掉一個正方形洞」之後剩下的環狀面；第四塊是洞裡面那個正方形角柱的四片側面。先把尺寸整理好：圓柱底面直徑 $8$，所以半徑 $r=4$，高 $h=8$；正方形洞的邊長 $5$。
2. 2

   算外圓柱側面

   圓柱側面攤平後是長方形，長等於底面圓周長 $2\pi r=2\pi\times 4=8\pi$，寬等於柱高 $8$。所以外側面積 $=2\pi rh=2\pi\times 4\times 8=64\pi$ 平方單位。
3. 3

   算上下兩個環面

   上底面本來是半徑 $4$ 的圓，面積 $\pi\times 4^2=16\pi$；中間被挖掉一個邊長 $5$ 的正方形，面積 $5^2=25$。所以一個環面的面積是 $16\pi-25$。上、下各一個，共 $2\times(16\pi-25)=32\pi-50$ 平方單位。
4. 4

   算內部角柱的四個側面

   洞的內壁是一個正方形角柱的側面，有四片，每片都是長方形：寬等於正方形的邊長 $5$，高等於圓柱的高 $8$。所以內側面積 $=4\times(5\times 8)=4\times 40=160$ 平方單位。
5. 5

   四塊相加

   把四塊加起來：$64\pi+(32\pi-50)+160=(64\pi+32\pi)+(-50+160)=96\pi+110$ 平方單位。
6. 6

   檢查誤算並作結

   常見的誤算有兩種。一是上下底面忘了扣掉正方形的洞，算成 $64\pi+32\pi+160=96\pi+160$，這個值不在選項裡。二是只算了外表面、忘了題目特別交代要含內部角柱的側面積，算成 $64\pi+32\pi-50=96\pi-50$，同樣不在選項裡。挖空的立體一定要記得：挖掉的地方不只少了面積，還多出了內壁。故選 (B)。

關鍵觀念：#圓柱 #角柱 #表面積 #立體圖形挖空