113學年鷺江國中第1次段考數學 第24題 詳解

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逐步解析

1. 1

   建立坐標系

   河道側面是拋物線，$E$ 是最低點，也就是拋物線的頂點。把 $E$ 當成原點建立坐標，中央那條鉛直線當成 $y$ 軸，開口向上，於是拋物線可以寫成 $y=ax^2$（頂點在原點，沒有常數項）。這樣一來，水面的高度就是 $y$ 值，水面的半寬就是 $x$ 值。
2. 2

   用水深 18 的情形求 a

   水深 $\overline{OE}=18$ 時水面是 $\overline{AB}$，寬 $12$ 公尺。$O$ 在 $E$ 正上方 $18$ 公尺處，而水面左右對稱於中央鉛直線，所以 $A$ 在 $E$ 右上方，半寬為 $12\div 2=6$，座標是 $(6,18)$。代入 $y=ax^2$：$18=a\times 6^2=36a$，解得 $a=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$。所以拋物線是 $y=\dfrac{1}{2}x^2$。
3. 3

   代入水深 8 求半寬

   水深 $\overline{EF}=8$ 時，水面 $\overline{CD}$ 的高度就是 $y=8$。代入 $8=\dfrac{1}{2}x^2$，兩邊乘 $2$ 得 $x^2=16$，所以 $x=4$（取正的那一側）。
4. 4

   把半寬變成整個寬度

   $x=4$ 只是從中央鉛直線量到 $C$ 的距離，也就是半寬。水面 $\overline{CD}$ 是左右兩邊合起來，所以 $\overline{CD}=2\times 4=8$ 公尺。
5. 5

   檢查誤算並作結

   最常見的誤算是把寬度和水深當成正比，算 $12\times\dfrac{8}{18}=\dfrac{16}{3}$ 公尺，這個值不在選項裡；拋物線不是直線，寬度和深度不成正比，真正成正比的是「寬度的平方」和深度。另一種是算出半寬 $4$ 就直接勾答案，忘了還要乘 $2$，$4$ 同樣不在選項裡。故選 (B)。

關鍵觀念：#二次函數 #拋物線應用 #相似關係

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