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109學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

外接圓中弧中點與圓心角 · 單選 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，圓O為△ABC的外接圓，其中D點在 AC^\widehat{AC} 上，且 OD‾⊥AC‾\overline{OD}\perp\overline{AC}。已知∠A=30°30°、∠C=66°66°，則∠BOD的度數為何？(A) 132°132° (B) 144°144° (C) 156°156° (D) 168°168°
一圓，圓心 $O$ 以實心點標於中央。圓周上四點：$D$ 在左上、$C$ 在右上、$A$ 在左下、$B$ 在右下。畫出的線段有：$\triangle ABC$ 的三邊 $\overline{AB}$（下方，近似水平）、$\overline{AC}$（由 $A$ 往右上到 $C$）、$\overline{BC}$（由 $B$ 往上到 $C$）；以及兩條半徑 $\overline{OD}$（由 $O$ 往左上到 $D$）與 $\overline{OB}$（由 $O$ 往右下到 $B$）。$\overline{OD}$ 在往 $D$ 的途中與弦 $\overline{AC}$ 相交，交點處畫有直角記號（小方框）——那個直角記號標的是 $\overline{OD}\perp\overline{AC}$，交點是 $\overline{OD}$ 與 $\overline{AC}$ 的交點，不是 $O$ 本身；$O$ 在該交點的右下方。$A$ 點與 $C$ 點旁各有一小段角度記號（$\angle A$、$\angle C$ 的位置）。圖上沒有畫 $\overline{BD}$ 這條弦。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把圓周角換成弧

    ∠A=30°\angle A=30° 是弧 BCBC 所對的圓周角，所以弧 BCBC 的度數是 2×30°=60°2\times30°=60°，也就是 ∠BOC=60°\angle BOC=60°。同理 ∠C=66°\angle C=66° 所對的是弧 ABAB，弧 AB=2×66°=132°AB=2\times66°=132°。
  2. 2

    算出弧 AC

    整個圓周是 360°360°，扣掉弧 BCBC 與弧 ABAB 之後，不含 BB 的那一段弧 ACAC 為 360°−60°−132°=168°360°-60°-132°=168°。
  3. 3

    垂直表示 D 是弧中點

    OD‾\overline{OD} 通過圓心 OO 又垂直弦 AC‾\overline{AC}，所以它所在的直線就是弦 AC‾\overline{AC} 的中垂線。圓心到弦的垂線會平分這條弦，也會平分這條弦所對的弧，因此 DD 正好是弧 ACAC 的中點，弧 ADAD 與弧 DCDC 各為 168°÷2=84°168°\div2=84°。
  4. 4

    把兩段弧接起來

    從 BB 出發沿著圓周經過 CC 再走到 DD，走過的是弧 BCBC 與弧 CDCD 兩段。圓心角的度數等於它所對的弧，所以 ∠BOD=60°+84°=144°\angle BOD=60°+84°=144°，故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#外接圓 #圓心角 #圓周角 #弧中點

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常見卡點
這題要先把兩個圓周角都換算成弧，再把垂直條件讀成「DD 是弧 ACAC 的中點」，少了任何一步都走不下去。常見錯誤有兩個：一是算出不含 BB 的弧 ACAC 等於 168°168° 就停手，直接把它當成 ∠BOD\angle BOD；二是看到 ∠C=66°\angle C=66° 就套兩倍寫成 132°132°，但那是弧 ABAB 對應的圓心角 ∠AOB\angle AOB，不是要求的 ∠BOD\angle BOD。

還是卡住嗎？

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