109學年鷺江國中第3次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   列出畢氏關係式

   直角三角形的兩股長是 $a$ 與 $b$，斜邊長是 $a+12$。由畢氏定理，兩股的平方和等於斜邊的平方，所以 $(a+12)^2=a^2+b^2$。
2. 2

   展開並消去 a 的平方

   把左邊用完全平方公式展開，得 $a^2+24a+144=a^2+b^2$。兩邊同時減去 $a^2$，剩下 $24a+144=b^2$。
3. 3

   提出公因數 24

   注意 $144=24\times6$，所以右邊兩項都含有因數 $24$，可以提出來：$b^2=24a+144=24(a+6)$。
4. 4

   下結論

   因為 $a$ 是正整數，所以 $a+6$ 也是正整數。$b^2=24\times(a+6)$ 是 $24$ 乘上一個正整數，因此 $b^2$ 必為 $24$ 的倍數，得證。

關鍵觀念：#商高定理 #倍數與整除 #乘法公式 #證明