109學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看出這是等腰三角形

   $A(0,3)$、$B(8,3)$ 在同一條水平線上，所以 $\overline{AB}=8-0=8$。$C(4,0)$ 到兩點的距離 $\overline{CA}=\sqrt{4^2+3^2}=5$、$\overline{CB}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，可見 $\triangle ABC$ 是以 $\overline{AB}$ 為底的等腰三角形，對稱軸是鉛直線 $x=4$。內心一定落在對稱軸上，所以它的橫坐標是 $4$。
2. 2

   用面積求內切圓半徑

   底邊 $\overline{AB}$ 在直線 $y=3$ 上，$C$ 在 $x$ 軸上，所以高是 $3$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times8\times3=12$。設內切圓半徑為 $r$，把內心連到三個頂點切成三塊，面積也等於 $\dfrac{1}{2}\times(5+5+8)\times r=9r$。由 $12=9r$ 得 $r=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$。
3. 3

   半徑是距離不是坐標

   $r=\dfrac{4}{3}$ 是內心到三邊的距離。內心在三角形內部，位於底邊 $\overline{AB}$ 的下方，和 $\overline{AB}$ 所在的直線 $y=3$ 相距 $\dfrac{4}{3}$，所以它的縱坐標要用 $3$ 往下減：$3-\dfrac{4}{3}=\dfrac{9-4}{3}=\dfrac{5}{3}$。因此內心坐標是 $\left(4,\dfrac{5}{3}\right)$，故選 (D)。
4. 4

   檢查合不合理

   內心一定在三角形內部。這個三角形的高只有 $3$，而 $\dfrac{5}{3}$ 大約是 $1.67$，確實介於 $0$ 與 $3$ 之間，位置合理。順帶比較一下重心：重心的縱坐標是 $(3+3+0)\div3=2$，和內心是不同的兩個點，不能混用。

關鍵觀念：#內心 #坐標平面 #內切圓半徑

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