109學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   找出直角，認出直徑

   由圖可以看出 $\overline{AB}$ 是鉛直的、$\overline{BC}$ 是水平的，所以直角在 $B$，$\angle ABC=90°$。由畢氏定理 $\overline{AC}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$。圓內接三角形若有直角，直角所對的斜邊一定是直徑，所以 $\overline{AC}=26$ 就是這個圓的直徑，半徑 $R=13$。
2. 2

   由圓周角換出圓心角

   $\angle CDE=120°$ 是以 $D$ 為頂點、對著弦 $\overline{CE}$ 的圓周角，它所對的是不含 $D$ 的那一段弧 $CE$，度數為 $2\times120°=240°$。整個圓是 $360°$，所以含 $D$ 的那一段弧 $CE$ 是 $360°-240°=120°$。連 $\overline{OC}$、$\overline{OE}$，這段弧對應的圓心角就是 $\angle COE=120°$。
3. 3

   等腰三角形作高

   $\overline{OC}=\overline{OE}=13$，$\angle COE=120°$，所以 $\triangle COE$ 是頂角 $120°$ 的等腰三角形。從 $O$ 向 $\overline{CE}$ 作高，垂足 $H$ 就是 $\overline{CE}$ 的中點，而這條高同時把頂角平分成兩個 $60°$。於是直角 $\triangle OHC$ 裡，$\angle HOC=60°$、$\angle OCH=30°$，是一個三十度、六十度、九十度的直角三角形。
4. 4

   用三邊比算出弦長

   三十度、六十度、九十度的直角三角形三邊比是 $1:\sqrt{3}:2$。在 $\triangle OHC$ 中斜邊 $\overline{OC}=13$ 對應 $2$，所以一份是 $\dfrac{13}{2}$，對著 $60°$ 的 $\overline{HC}$ 對應 $\sqrt{3}$，得 $\overline{HC}=\dfrac{13\sqrt{3}}{2}$。因為 $H$ 是 $\overline{CE}$ 的中點，所以 $\overline{CE}=2\times\overline{HC}=13\sqrt{3}$，故選 (B)。

關鍵觀念：#圓內接多邊形 #圓周角 #直徑與直角 #特殊直角三角形三邊比

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