109學年鷺江國中第3次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先定出 F 的位置

   平行四邊形中 $\overline{AD}/\!/\overline{BC}$ 且 $\overline{AD}=\overline{BC}$。$\overline{BE}=\overline{CE}$ 表示 $E$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{CE}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}=\dfrac{1}{2}\overline{AD}$。因為 $\overline{AD}/\!/\overline{CE}$，$\triangle FAD$ 與 $\triangle FCE$ 的對應角相等，兩者相似，相似比 $\overline{AD}:\overline{CE}=2:1$。
2. 2

   把對角線分成幾份

   由相似比得 $\overline{AF}:\overline{FC}=2:1$，所以 $\overline{FC}=\dfrac{1}{3}\overline{AC}$。又 $O$ 是兩對角線的交點，也就是 $\overline{AC}$ 的中點，$\overline{OC}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$。因此 $\overline{OF}=\overline{OC}-\overline{FC}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}-\dfrac{1}{3}\overline{AC}=\dfrac{1}{6}\overline{AC}$。
3. 3

   先算出三角形 OEC

   兩條對角線把平行四邊形分成四個面積相等的三角形，所以 $\triangle OBC=144\div4=36$。$E$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\triangle OEC$ 與 $\triangle OBC$ 同高、底邊只有一半，所以 $\triangle OEC=36\div2=18$ 平方公分。
4. 4

   再縮到三角形 OEF

   $\triangle OEF$ 與 $\triangle OEC$ 都以 $E$ 為頂點，底邊分別是 $\overline{OF}$ 與 $\overline{OC}$，兩者同高，面積比就等於底邊比。由 $\overline{OF}=\dfrac{1}{6}\overline{AC}$、$\overline{OC}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$ 得 $\overline{OF}:\overline{OC}=1:3$，所以 $\triangle OEF=18\div3=6$ 平方公分，故選 (A)。

關鍵觀念：#平行四邊形 #對角線 #三角形面積比 #相似三角形

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