109學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   外心落在對稱軸上

   $\overline{AB}=\overline{AC}$，所以頂點 $A$ 到底邊中點 $D$ 的連線 $\overline{AD}$ 同時是中線與高，也就是 $\overline{BC}$ 的中垂線。外心到 $B$、$C$ 等距，一定落在 $\overline{BC}$ 的中垂線上，所以 $O$ 就在 $\overline{AD}$ 上，$\overline{OD}$ 正是外心到底邊的距離。
2. 2

   先算出高

   $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{BD}=10\div2=5$。在直角 $\triangle ABD$ 中用畢氏定理，$\overline{AD}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
3. 3

   設半徑列方程式

   設外接圓半徑為 $R$，則 $\overline{OA}=\overline{OB}=R$。$O$ 在 $\overline{AD}$ 上，所以 $\overline{OD}=\overline{AD}-\overline{OA}=12-R$。在直角 $\triangle OBD$ 中用畢氏定理，$\overline{OD}^2+\overline{BD}^2=\overline{OB}^2$，也就是 $(12-R)^2+5^2=R^2$。
4. 4

   解方程式並回頭求 OD

   展開得 $144-24R+R^2+25=R^2$，兩邊消去 $R^2$ 後得 $169=24R$，所以 $R=\dfrac{169}{24}$。題目要的是 $\overline{OD}$，還要再用高去減：$\overline{OD}=12-\dfrac{169}{24}=\dfrac{288-169}{24}=\dfrac{119}{24}$，故選 (A)。

關鍵觀念：#外心 #等腰三角形 #外接圓半徑 #畢氏定理

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