109學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   對角線互相平分

   設菱形兩對角線交於 $O$。菱形的對角線互相垂直平分，所以 $O$ 同時是 $\overline{AC}$ 的中點與 $\overline{BD}$ 的中點，$\overline{AO}=\overline{OC}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$。
2. 2

   兩個重心都落在 AC 上

   在 $\triangle ABD$ 中，$O$ 是 $\overline{BD}$ 的中點，所以 $\overline{AO}$ 是中線，重心 $E$ 落在 $\overline{AO}$ 上，且 $\overline{OE}=\dfrac{1}{3}\overline{AO}$。同理在 $\triangle CBD$ 中，$\overline{CO}$ 是中線，重心 $F$ 落在 $\overline{CO}$ 上，且 $\overline{OF}=\dfrac{1}{3}\overline{CO}$。
3. 3

   由 EF 求出另一條對角線

   $E$ 與 $F$ 分別在 $O$ 的兩側，所以 $\overline{EF}=\overline{OE}+\overline{OF}=\dfrac{1}{3}\overline{AO}+\dfrac{1}{3}\overline{CO}=\dfrac{1}{3}\overline{AC}$。由 $\overline{EF}=8$ 得 $\overline{AC}=8\times3=24$。
4. 4

   算菱形面積

   菱形的面積等於兩條對角線乘積的一半，所以面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BD}=\dfrac{1}{2}\times24\times8=96$，故選 (D)。

關鍵觀念：#菱形 #重心 #對角線

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