109學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

逐步解析

1. 1

   用外角定理求 B 角

   $\angle ADC$ 是 $\triangle ABD$ 在 $D$ 點的外角，等於兩個不相鄰內角之和，也就是 $\angle ADC=\angle B+\angle BAD$。代入 $\angle ADC=60°$、$\angle BAD=30°$，得 $\angle B=60°-30°=30°$。
2. 2

   等角對等邊完成第一小題

   在 $\triangle ABD$ 中，$\angle BAD=30°$、$\angle B=30°$，兩角相等。由等角對等邊，這兩個角所對的邊相等：$\angle BAD$ 對的是 $\overline{BD}$、$\angle B$ 對的是 $\overline{AD}$，所以 $\overline{AD}=\overline{BD}$，第一小題得證。
3. 3

   找出三角形 ADC 的三個角

   $\overline{AB}=\overline{AC}$，所以 $\angle C=\angle B=30°$，頂角 $\angle BAC=180°-30°-30°=120°$。因此 $\angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=120°-30°=90°$。也就是說 $\triangle ADC$ 是一個 $\angle DAC=90°$、$\angle C=30°$、$\angle ADC=60°$ 的直角三角形。
4. 4

   用三邊比求 CD

   在直角 $\triangle ADC$ 中，$\overline{CD}$ 是斜邊，三邊比為 $\overline{AD}:\overline{AC}:\overline{CD}=1:\sqrt{3}:2$。已知 $\overline{AC}=4\sqrt{3}$ 對應的是 $\sqrt{3}$ 這一份，所以一份是 $4$，於是 $\overline{AD}=4$、$\overline{CD}=2\times4=8$。第二小題的答案是 $\overline{CD}=8$；順帶也得到 $\overline{BD}=\overline{AD}=4$。

關鍵觀念：#等腰三角形 #外角定理 #特殊直角三角形三邊比

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