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110學年新莊國中第2次段考數學 第3題 詳解

圓外一點到圓的最長距離 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
3.( )如圖(二)，P為圓O外一點，已知PA‾=24\overline{PA}=24，圓O的半徑為7，且PA‾\overline{PA}與圓O相切於A點，則P到圓O的最長距離為？
(A) 32　　(B) 30　　(C) 25　　(D) 24。
一個圓，圓心標示 $O$。圓外左側有一點 $P$，由 $P$ 畫一條線段到圓上一點 $A$（$A$ 在圓的右上方、貼著圓周），線段在 $A$ 點處與圓周相切。

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    切線垂直半徑

    PA‾\overline{PA} 切圓 OO 於 AA，所以半徑 OA‾⊥PA‾\overline{OA}\perp\overline{PA}，△PAO\triangle PAO 是以 AA 為直角的直角三角形。
  2. 2

    求 PO

    由畢氏定理：PO‾=242+72=576+49=625=25\overline{PO}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25。
  3. 3

    最遠點在哪

    從 PP 畫直線穿過圓心 OO，會交圓於兩點：靠近 PP 的那點最近、遠離 PP 的那點最遠。最遠距離 =PO‾+=\overline{PO}+ 半徑 =25+7=32=25+7=32。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#切線 #圓外一點 #畢氏定理

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常見卡點
算出 PO‾=25\overline{PO}=25 就停下來選 (C) 是最常見的錯：2525 是 PP 到圓心的距離，不是到圓上的距離。圓心在圓裡面，還要再往外走一個半徑才碰到圓周最遠處。也有人把切線長 2424 當答案選 (D)，但切點只是圓上的其中一點，並不是最遠的點。

還是卡住嗎？

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