111學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看出兩弧共用圓心角

   圖上從圓心 $O$ 畫出兩條射線往右邊延伸，上面那條先穿過小圓的 $C$ 再到大圓的 $A$，下面那條先穿過小圓的 $D$ 再到大圓的 $B$。所以 $\widehat{AB}$ 和 $\widehat{CD}$ 是被同樣的兩條射線夾出來的，它們的圓心角是同一個角。這是整題的關鍵。
2. 2

   先用小圓求出圓心角

   設這個共同的圓心角為 $x^\circ$。小圓半徑 $24$、$\widehat{CD}$ 長 $8\pi$，代入弧長公式 $2\pi r\times\dfrac{x}{360}$ 得 $2\pi\times 24\times\dfrac{x}{360}=8\pi$，也就是 $\dfrac{48\pi x}{360}=8\pi$。兩邊同除以 $\pi$ 再整理，$48x=2880$，解得 $x=60$。
3. 3

   再用大圓求半徑

   設大圓半徑為 $R$。$\widehat{AB}$ 長 $12\pi$、圓心角同樣是 $60^\circ$，代入公式得 $2\pi R\times\dfrac{60}{360}=12\pi$，也就是 $\dfrac{\pi R}{3}=12\pi$，兩邊同除以 $\pi$ 再乘 $3$，得 $R=36$。
4. 4

   用正比關係再算一次

   圓心角固定時，弧長和半徑成正比，所以可以直接寫 $\widehat{AB}:\widehat{CD}=R:24$，也就是 $12\pi:8\pi=R:24$。交叉相乘得 $8R=12\times 24=288$，$R=36$，和上面的答案一致。故選 (D)。
5. 5

   檢查誘答的來源

   要小心比例式寫反：若誤寫成 $R=24\times\dfrac{8}{12}=16$，得到的是一個比小圓還小的值，也不在選項裡，這時就該回頭檢查方向。另外，$24$ 是題目給的小圓半徑，$\widehat{AB}$ 比 $\widehat{CD}$ 長，大圓半徑一定要大於 $24$，直接把 $24$ 抄成答案也不合理。

關鍵觀念：#弧長 #圓心角 #同心圓

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