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112學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

直徑與弦求圓心角 · 填充 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十六)，AB‾\overline{AB}為圓OO的直徑，CD‾\overline{CD}為圓OO的一弦，若∠ACD=35°\angle ACD=35°，則∠DOB=\angle DOB=【(K)】度。
圓O，直徑AB水平（A在左、B在右）；C在圓周上方（偏左，靠近A的一側）、D在圓周下方（也偏左）；圖中畫出A到C、A到D、C到D三條弦，以及O到D的半徑，其中C到D的連線大致呈鉛直方向、通過圓心 O 的左側、並未通過 O。
圖(十六)

答案110110看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    認出 ∠ACD 是圓周角

    由圖可知 CC 在圓周上，∠ACD\angle ACD 的兩邊分別通過 AA 和 DD，所以它是圓周角，所對的弧是不含 CC 的那一段 AD^\widehat{AD}（也就是直徑 AB‾\overline{AB} 下方、從 AA 到 DD 的那段短弧）。
  2. 2

    由圓周角推弧的度數

    圓周角等於所對弧的一半，反過來弧就是圓周角的兩倍：AD^=2×∠ACD=2×35°=70°\widehat{AD}=2\times\angle ACD=2\times 35°=70° 而圓心角等於所對弧的度數，所以 ∠AOD=70°\angle AOD=70°。
  3. 3

    用直徑拉出的平角

    AB‾\overline{AB} 是圓 OO 的直徑，表示 AA、OO、BB 三點共線，∠AOB\angle AOB 是平角 180°180°。半徑 OD‾\overline{OD} 把它分成 ∠AOD\angle AOD 與 ∠DOB\angle DOB 兩塊：∠AOD+∠DOB=180°\angle AOD+\angle DOB=180°
  4. 4

    相減得答案

    ∠DOB=180°−70°=110°\angle DOB=180°-70°=110° 所以 ∠DOB=110\angle DOB=110 度。換個角度驗算：AD^=70°\widehat{AD}=70°，則 DB^=180°−70°=110°\widehat{DB}=180°-70°=110°（半圓是 180°180°），圓心角等於弧，同樣得 110°110°。
答案
110110

關鍵觀念：#直徑 #圓周角 #圓心角

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常見卡點
最常見的錯是忘了「圓周角換成弧要乘二」，直接用一百八十度減三十五度得到一百四十五度。三十五度是圓周角，對應的弧是七十度，要先把角換成弧或換成圓心角，才能跟直徑的一百八十度相加減。另一個坑是弧對錯邊：∠ACD 的頂點在 C，對到的是不含 C 的那段 AD，別因為 C、D 兩點在圖上靠得近就拿成 CD 那一段。

還是卡住嗎？

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