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112學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

平行弦與弧求弧度 · 填充 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十七)，圓OO中，AB‾∥OC‾\overline{AB}\parallel\overline{OC}，且AB^=66°\widehat{AB}=66°，則CDB^=\widehat{CDB}=【(L)】度。
圓 O：圓周上由左上順時鐘依序為 D（左上）、B（右側）、A（下方）、C（左下）。圖中畫出半徑 OC，以及兩條弦——C 到 B、A 到 B（弦 AB 與半徑 OC 平行）。A、B、C 三點集中在圓的右下側，D 單獨在左上側；C 與 A 之間只有圓弧、沒有畫弦。
圖(十七)

答案237237看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    連半徑做出等腰三角形

    連 OA‾\overline{OA} 與 OB‾\overline{OB}。AB^=66°\widehat{AB}=66° 表示圓心角 ∠AOB=66°\angle AOB=66°。又 OA‾=OB‾\overline{OA}=\overline{OB} 都是半徑，△OAB\triangle OAB 是等腰三角形。
  2. 2

    求等腰三角形的底角

    ∠OAB=∠OBA=180°−66°2=114°2=57°\angle OAB=\angle OBA=\dfrac{180°-66°}{2}=\dfrac{114°}{2}=57°
  3. 3

    用平行線搬角度

    AB‾∥OC‾\overline{AB}\parallel\overline{OC}，用直線 OAOA 去截這兩條平行線，∠AOC\angle AOC 與 ∠OAB\angle OAB 是一組內錯角，所以 ∠AOC=∠OAB=57°\angle AOC=\angle OAB=57° 圓心角等於所對弧，因此 AC^=57°\widehat{AC}=57°。
  4. 4

    把整圓拆成四段弧

    圓周上依序是 CC、AA、BB、DD 四點，整圓可拆成 CA^+AB^+BD^+DC^=360°\widehat{CA}+\widehat{AB}+\widehat{BD}+\widehat{DC}=360° 其中 CA^=57°\widehat{CA}=57°、AB^=66°\widehat{AB}=66°。
  5. 5

    算出弧 CDB

    CDB^\widehat{CDB} 是從 CC 出發、經過 DD 再到 BB 的那一段，也就是 CD^+DB^\widehat{CD}+\widehat{DB}：CDB^=360°−CA^−AB^=360°−57°−66°=237°\widehat{CDB}=360°-\widehat{CA}-\widehat{AB}=360°-57°-66°=237° 所以 CDB^=237\widehat{CDB}=237 度。若不小心算成從 CC 經 AA 到 BB 的那一段，得到的是 57°+66°=123°57°+66°=123°，剛好是 237°237° 的補圓弧，兩者相加是 360°360°。
答案
237237

關鍵觀念：#平行弦 #弧

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常見卡點
這題最關鍵的是看清楚弧CDB走哪一邊。符號中間夾著 D，就表示這段弧必須經過 D 點，也就是繞遠的那一邊，答案會大於一百八十度；如果算出一百二十三度，代表走的是經過 A 的那一段，要用三百六十度減回去。另一個易錯點是平行線搬角度時配錯角：OC 平行 AB，要用連起來的半徑 OA 當截線，∠AOC 與 ∠OAB 才是內錯角；拿 OB 當截線得到的是同側內角，兩角和才是一百八十度。

還是卡住嗎？

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