112學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

答案$\overline{AB}=\dfrac{27}{2}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   把圖上的已知條件抄下來

   由圖可知：$\overline{EC}\perp\overline{CA}$ 於 $C$、$\overline{DB}\perp\overline{CA}$ 於 $B$（兩處都標了直角記號），而且 $C$、$B$、$A$ 三點在同一條水平基線上，$E$、$D$、$A$ 三點在同一條斜線上。量得的長度是 $\overline{EC}=15$、$\overline{CB}=9$、$\overline{BD}=9$。這一段要寫在卷面上，後面的相似才有依據。
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   說明兩個三角形為什麼相似

   $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACE$ 中：$\angle A$ 是兩個三角形的公共角；又 $\angle ABD=\angle ACE=90°$。兩組角對應相等，由 AA 相似性質得 $$\triangle ABD\sim\triangle ACE$$ 對應關係是 $A\leftrightarrow A$、$B\leftrightarrow C$、$D\leftrightarrow E$。
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   列出比例式

   相似三角形的對應邊成比例，取「基線」配「鉛直邊」：$$\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CE}$$ 其中 $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AB}+9$。設 $\overline{AB}=x$，代入已知得 $$x:(x+9)=9:15$$
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   解方程

   把比例式改寫成交叉相乘：$$15x=9(x+9)$$ $$15x=9x+81$$ $$6x=81$$ $$x=\dfrac{81}{6}=\dfrac{27}{2}$$ 所以河寬 $\overline{AB}=\dfrac{27}{2}$。
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   代回驗算並提醒寫過程

   $\overline{AB}=\dfrac{27}{2}=13.5$，則 $\overline{AC}=13.5+9=22.5$，比值 $13.5:22.5=3:5$，而 $\overline{BD}:\overline{CE}=9:15=3:5$，兩邊相符，答案正確。這一題的計算過程必須完整留在卷面上：哪兩個三角形相似、根據什麼判定、比例式怎麼列、方程怎麼解，四件事缺一不可，只寫出二分之二十七這個數字是不給分的。

關鍵觀念：#相似三角形 #應用問題 #測量