112學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

答案(1) $108°$ (2) $64°$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   第 1 小題：弧長比就是度數比

   同一個圓裡，弧長和它的度數成正比，整個圓周對應 $360°$。$\widehat{BDC}$ 的弧長佔圓周的 $\dfrac{3}{10}$，所以它的度數也佔 $360°$ 的 $\dfrac{3}{10}$：$$\widehat{BDC}=360°\times\dfrac{3}{10}=108°$$ 第 1 小題的答案是 $108°$，這一行算式必須寫在卷面上。
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   第 2 小題先把 ∠BCA 換成弧

   $\angle BCA$ 的頂點在圓周上的 $C$，兩邊分別通過 $B$ 和 $A$，是圓周角，所對的弧是不含 $C$ 的那一段 $\widehat{AB}$。圓周角是弧的一半，反過來 $$\widehat{AB}=2\times\angle BCA=2\times 62°=124°$$
3. 3

   用整圓湊出弧 AC

   圓周上依序是 $A$、$C$、$D$、$B$ 四點，而 $\widehat{BDC}$ 正好是 $B$ 經過 $D$ 到 $C$ 的那一段。整個圓可以拆成三塊：$$\widehat{AB}+\widehat{BDC}+\widehat{CA}=360°$$ 代入得 $$\widehat{CA}=360°-124°-108°=128°$$
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   再用一次圓周角求 ∠ADC

   $\angle ADC$ 的頂點在 $D$，兩邊通過 $A$ 和 $C$，也是圓周角。$D$ 位在 $\widehat{BDC}$ 上，不在 $\widehat{CA}$ 上，所以 $\angle ADC$ 所對的就是剛才求到的 $\widehat{CA}=128°$：$$\angle ADC=\dfrac{1}{2}\times 128°=64°$$ 第 2 小題的答案是 $64°$。
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   整理作答與給分提醒

   結論：第 1 小題 $\widehat{BDC}=108°$，第 2 小題 $\angle ADC=64°$。兩小題各 $3$ 分，而且沒有計算過程不予計分，所以第 1 小題要寫出 $360°\times\dfrac{3}{10}=108°$；第 2 小題要依序寫出 $\widehat{AB}=2\times 62°=124°$、$\widehat{CA}=360°-124°-108°=128°$、$\angle ADC=128°\div 2=64°$。兩小題的過程與結果要分開寫清楚，不要只留下兩個度數。

關鍵觀念：#弧長 #弦 #圓周角