112學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先處理兩個切線敘述

   (甲)：圓外一點到圓心的距離大於半徑，從這點向圓可以畫出左右各一條切線，恰好兩條，敘述正確。(己)：過圓上一點，切線必須垂直該點的半徑，方向被唯一決定，所以只有一條，敘述也正確。這兩個先排除。
2. 2

   (乙) 弦愈長弦心距愈小

   設半徑 $r$、弦長 $\ell$、弦心距 $d$，弦心距會垂直平分弦，所以 $d^2+\left(\dfrac{\ell}{2}\right)^2=r^2$。舉 $r=5$ 為例：弦長 $8$ 時 $d=\sqrt{25-16}=3$；弦長 $6$ 時 $d=\sqrt{25-9}=4$。弦愈長，弦心距反而愈小。(乙) 錯。
3. 3

   (丙) 直徑所對的圓周角

   直徑所對的弧是半圓，度數 $180°$，圓周角等於弧的一半，$180°\div 2=90°$，確實是直角。(丙) 正確。
4. 4

   (丁) 對角互補不是互餘

   圓內接四邊形 $ABCD$ 中，$\angle A$ 與 $\angle C$ 分別是兩段弧的一半，而這兩段弧合起來剛好是整個圓，所以兩角相加是整圓的一半，$\dfrac{360°}{2}=180°$。所以對角相加是 $180°$，叫互補；互餘是相加 $90°$，講錯了。(丁) 錯。
5. 5

   (戊) 圓心角是圓周角的兩倍

   對同一段弧，圓心角的度數就等於弧的度數，圓周角卻只有弧的一半，兩者是 $2$ 倍關係而不是相等。例如弧 $80°$ 時圓心角 $80°$、圓周角 $40°$。(戊) 錯。整理起來，錯的是 (乙)(丁)(戊)。故選 (B)。

關鍵觀念：#切線 #弦心距 #圓周角 #圓內接四邊形

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