114學年鷺江國中第2次段考數學第3題詳解

弦長與弦心距關係是非判斷 · 是非 · 題目出處：114 學年度第 1 學期第 2 次定期評量數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目

在同一圓中的兩弦：弦愈長，弦心距愈長；弦愈短，弦心距愈短。(2-1)（是非題，請畫○或×）

逐步解析

1

先想一個極端例子

同一圓中最長的弦是直徑，而直徑通過圓心，它的弦心距是 $0$ 。隨便再取一條不過圓心的弦，它一定比直徑短，弦心距卻大於 $0$ 。最長的弦配最小的弦心距，題目說的「弦愈長弦心距愈長」立刻就不成立。
2

用畢氏定理看清楚

設圓半徑 $r$ 、弦長 $2a$ 、弦心距 $d$ 。弦心距會垂直平分這條弦，所以由畢氏定理得 $a^2+d^2=r^2$ ，也就是 $d=\sqrt{r^2-a^2}$ 。同一圓中 $r$ 是固定的， $a$ 愈大（弦愈長）， $d$ 就愈小。
3

改成正確的敘述

正確的說法應該是：在同一圓中，弦愈長，弦心距愈短；弦愈短，弦心距愈長。題目把這個關係說反了，故本題答 ×。

答案

關鍵觀念：#弦長 #弦心距

常見卡點

「愈長愈遠」念起來很順，所以很多人直接畫圈。可以在腦中做一個動作來記：把一條弦從直徑的位置慢慢往圓邊平移，弦會愈來愈短，它離圓心卻愈來愈遠。或者直接記住

a^2+d^2=r^2

，弦長與弦心距在同一個圓裡就是一增一減。另外要注意「同一圓」這三個字，半徑不同的兩個圓不能直接拿弦心距比長短。

還是卡住嗎？

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