112分科測驗數學甲 第15題 詳解

坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0<\theta<\pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma':40x^2+4\sqrt5xy+41y^2=180$，點 $\left(-\dfrac53,\dfrac{2\sqrt5}{3}\right)$ 為 $\Gamma'$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，橢圓 $\Gamma'$ 的長軸長為多少？（化為最簡根式）