109學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

逐步解析

1. 1

   畫出弦心距的直角三角形

   在半徑為 $r$ 的圓中，設弦長為 $\ell$、弦心距為 $d$。圓心到弦的垂線會平分這條弦，於是得到一個直角三角形：斜邊是半徑 $r$，兩股分別是 $d$ 與 $\dfrac{\ell}{2}$。
2. 2

   用畢氏定理看兩者的關係

   由畢氏定理得 $d^2+\left(\dfrac{\ell}{2}\right)^2=r^2$，移項後 $d^2=r^2-\dfrac{\ell^2}{4}$。同一個圓裡 $r$ 是固定的，所以 $\ell$ 愈大，被減掉的量愈大，$d^2$ 就愈小，$d$ 也跟著愈小。
3. 3

   下結論

   因此在同一個圓中，弦愈長，弦心距愈短；弦最長時就是直徑，這時弦心距為 $0$。敘述正確，打圈。

關鍵觀念：#弦 #弦心距

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