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111學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

平行四邊形與正方形組合求角度 · 填充 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如（圖十），有一平行四邊形ABCDABCD與一正方形CEFGCEFG，其中EE點在AD‾\overline{AD}上。若∠ECD=35°\angle ECD=35°，∠AEF=15°\angle AEF=15°，則∠B=\angle B=____(3)____度(4-2)
（圖十）平行四邊形 $ABCD$（$A$ 左上、$D$ 右上、$B$ 左下、$C$ 右下）與正方形 $CEFG$ 疊在一起。正方形的四個頂點依序是 $C$（平行四邊形的右下角）$\to E$（在上邊 $\overline{AD}$ 上，約在 $A$、$D$ 之間）$\to F$（在左側，落在平行四邊形的外面，不在 $\overline{AB}$ 上）$\to G$（在左下方，也在平行四邊形外）。 $E$ 這個點是全題的樞紐：$A$、$E$、$D$ 三點共線（$E$ 在上邊上），而從 $E$ 出發的四條射線由左而右（順時針）依序是 $\overrightarrow{EA}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{EC}$、$\overrightarrow{ED}$，所以 $\angle AEF+\angle FEC+\angle CED=180°$，其中 $\angle FEC=90°$（正方形的內角）。
圖十

答案7070看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    抓住 EE 這個樞紐

    EE 在 AD‾\overline{AD} 上，所以 AA、EE、DD 三點共線，EE 這一側的角合起來是一個平角 180°180°。從 EE 出發的四條射線依序是 EA→\overrightarrow{EA}、EF→\overrightarrow{EF}、EC→\overrightarrow{EC}、ED→\overrightarrow{ED}。
  2. 2

    填入正方形的直角

    ∠FEC\angle FEC 是正方形 CEFGCEFG 的內角，等於 90°90°。
  3. 3

    把平角拆開

    ∠AEF+∠FEC+∠CED=180°\angle AEF+\angle FEC+\angle CED=180°，代入得 15°+90°+∠CED=180°15°+90°+\angle CED=180°，所以 ∠CED=180°−15°−90°=75°\angle CED=180°-15°-90°=75°。
  4. 4

    回到 △CDE\triangle CDE

    在 △CDE\triangle CDE 中，∠CED=75°\angle CED=75°、∠ECD=35°\angle ECD=35°，所以 ∠EDC=180°−75°−35°=70°\angle EDC=180°-75°-35°=70°。
  5. 5

    搬到 ∠B\angle B

    EE 在 AD‾\overline{AD} 上，所以 ∠ADC=∠EDC=70°\angle ADC=\angle EDC=70°。平行四邊形的對角相等，∠B=∠ADC=70\angle B=\angle ADC=70 度。空格 (3) 填 7070。
答案
7070

關鍵觀念：#平行四邊形 #正方形 #角度關係

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常見卡點
漏掉 ∠AEF=15°\angle AEF=15° 這一塊，只拿正方形的直角去拆平角，就會得到 ∠CED=180°−90°=90°\angle CED=180°-90°=90°，再算出 ∠D=180°−90°−35°=55°\angle D=180°-90°-35°=55° 這個錯的值。EE 處排著三個角，一個都不能少。

還是卡住嗎？

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