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113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第12題 詳解

平面上多點決定直線數量 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
平面上有相異的 88 點，最多可決定 mm 條直線，最少可決定 nn 條直線，則 m−n=m-n=？
(A) 77
(B) 1919
(C) 2727
(D) 3131

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    想清楚什麼時候直線最多

    兩點決定一直線。要讓直線條數最多，就要讓任何三個點都不在同一條直線上，這樣每挑出兩個點，連出來的都是一條全新的直線，不會和別組重複。
  2. 2

    算出最多的條數

    從 88 個點中挑 22 個來連：第一個點有 88 種選法、第二個點有 77 種，共 8×7=568\times 7=56 種挑法。但「先選甲再選乙」和「先選乙再選甲」連出來是同一條，每條都被算了兩次，所以 m=8×72=28m=\dfrac{8\times 7}{2}=28 條。
  3. 3

    想清楚什麼時候直線最少

    要讓直線最少，就把點集中——讓這 88 個相異點全部落在同一條直線上。這時不管挑哪兩個點來連，連出來的都是那一條，所以 n=1n=1 條。
  4. 4

    相減後下結論

    m−n=28−1=27m-n=28-1=27。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#直線 #組合 #最多最少

同主題一起複習：排列組合 →

常見卡點
最少的情況最常被想歪。有人以為「最少」也要兩兩相連再扣掉重複，結果還是算成 2828；其實只要八點共線，全部的連線就只剩 11 條。另一個坑是算 mm 時把 8×78\times 7 寫成 8×88\times 8：用 8×82=32\dfrac{8\times 8}{2}=32 再減 11 會得到 3131，剛好落在 (D)。還有人把「最多」誤以為像多邊形一樣只連相鄰的點而得到 88 條，8−1=78-1=7 就選到 (A)。

還是卡住嗎？

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