110學年新莊國中第1次段考數學第23題詳解

蛋糕購買組合數與較便宜方案應用問題 · 非選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 1 次定期評量數學科（新北市立新莊國民中學）

題目

小宇在店內購買兩種蛋糕當伴手禮，蛋糕的價目表如下:
巧克力蛋糕：一盒6個，售價180元/盒
草莓蛋糕：一盒3個，售價100元/盒
(1)若小宇想準備30個蛋糕給老師和同學，且兩種都買，則他有幾種購買方法？(購買蛋糕以盒為單位，不零售)
(2)承(1)，哪一種購買方法較便宜？

答案(1) 設買巧克力蛋糕x盒、草莓蛋糕y盒， $6x+3y=30$ （x、y為正整數）：(x,y)=(1,8),(2,6),(3,4),(4,2)，共4種購買方法。 (2) 巧克力蛋糕4盒、草莓蛋糕2盒時最便宜（920元）。看逐步解析 ↓

逐步解析

1

(1) 設未知數列式

設巧克力蛋糕買 $x$ 盒、草莓蛋糕買 $y$ 盒。巧克力一盒 6 個、草莓一盒 3 個，共 30 個： $6x+3y=30$ ，兩邊除以 3 得 $2x+y=10$ 。兩種都要買，所以 $x$ 、 $y$ 都是正整數。
2

(1) 列舉正整數解

$y=10-2x$ ， $x$ 從 1 開始試： $x=1,y=8$ ； $x=2,y=6$ ； $x=3,y=4$ ； $x=4,y=2$ ； $x=5$ 時 $y=0$ ，草莓沒買，不合。共 4 種購買方法。
3

(2) 比較每種的價錢

總價 $180x+100y$ ： $(1,8)$ ： $180+800=980$ 元； $(2,6)$ ： $360+600=960$ 元； $(3,4)$ ： $540+400=940$ 元； $(4,2)$ ： $720+200=920$ 元。
4

(2) 結論

巧克力蛋糕 4 盒、草莓蛋糕 2 盒最便宜，共 920 元。原因是 1 盒巧克力和 2 盒草莓都是 6 個，但 $180<200$ ，巧克力買越多越省。

答案

(1) 設買巧克力蛋糕x盒、草莓蛋糕y盒，

6x+3y=30

（x、y為正整數）：(x,y)=(1,8),(2,6),(3,4),(4,2)，共4種購買方法。 (2) 巧克力蛋糕4盒、草莓蛋糕2盒時最便宜（920元）。

關鍵觀念：#應用問題 #二元一次方程式的正整數解

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常見卡點

最常見的錯是忽略「兩種都買」，把

x=5

、

y=0

或

x=0

、

y=10

也算進去，答成 5 種或 6 種。列舉時要先寫清楚

x

、

y

的範圍是正整數。第 (2) 小題也別只比單盒價錢，要比買 30 個的總價。

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