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113學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

正六邊形與正方形組合求角度 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，六邊形 ABCDEFABCDEF 和四邊形 CDGHCDGH 分別為正六邊形和正方形，則 ∠CHB\angle CHB 的度數為何？
橙色正六邊形 $ABCDEF$，頂點依序為上方的 $A$、$F$，右側的 $E$，下方的 $D$、$C$，左側的 $B$；六邊形內部靠下方畫有正方形 $CDGH$，其中 $G$ 在 $H$ 右側、兩點皆在 $C$、$D$ 上方；$H$ 與 $B$ 之間連有一線段。

答案7575看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先求正六邊形的內角

    正 nn 邊形的每個內角 =(n−2)×180°n=\dfrac{(n-2)\times180°}{n}。代入 n=6n=6 得每個內角 =4×180°6=120°=\dfrac{4\times180°}{6}=120°，所以 ∠BCD=120°\angle BCD=120°。
  2. 2

    扣掉正方形的直角

    正方形 CDGHCDGH 在 CC 點的內角 ∠HCD=90°\angle HCD=90°，而 HH 落在 ∠BCD\angle BCD 內部，所以 ∠BCH=∠BCD−∠HCD=120°−90°=30°\angle BCH=\angle BCD-\angle HCD=120°-90°=30°。
  3. 3

    找出相等的兩邊

    CD‾\overline{CD} 同時是正六邊形的一邊和正方形的一邊，所以正方形的邊 CH‾=CD‾\overline{CH}=\overline{CD}，而正六邊形的邊 CB‾=CD‾\overline{CB}=\overline{CD}，因此 CH‾=CB‾\overline{CH}=\overline{CB}，△BCH\triangle BCH 是以 CC 為頂角的等腰三角形。
  4. 4

    求底角

    △BCH\triangle BCH 的頂角 ∠BCH=30°\angle BCH=30°，兩個底角相等，所以 ∠CHB=180°−30°2=75°\angle CHB=\dfrac{180°-30°}{2}=75°，即 ∠CHB\angle CHB 為 7575 度。
答案
7575

關鍵觀念：#正多邊形內角 #多邊形組合

同主題一起複習：平面幾何 → 排列組合 →

常見卡點
要同時用到兩件事才解得開：一是 ∠BCH=∠BCD−∠HCD=120°−90°=30°\angle BCH=\angle BCD-\angle HCD=120°-90°=30°，二是正方形的邊 CD‾\overline{CD} 就是正六邊形的邊，所以 CH‾=CB‾\overline{CH}=\overline{CB}，△BCH\triangle BCH 是等腰三角形。最常見的失誤是算出頂角 30°30° 之後忘了再求底角，直接把 180°−30°=150°180°-30°=150° 寫上去；也有人把頂角和底角搞混，以為 ∠CHB\angle CHB 就是 30°30°。看到正多邊形拼正方形，第一個念頭要是邊長相等。

還是卡住嗎？

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