113學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先找出關鍵交點

   令 $\overline{AD}$ 與 $\overline{BC}$ 的交點為 $P$。這兩條長線段是整張圖的骨架：$E$ 落在 $\triangle ABP$ 的內部，而 $P$ 落在 $\triangle CDE$ 的內部。五個角各自多少並不固定，但它們的和是固定的。
2. 2

   上半部用內角和

   在 $\triangle ABP$ 中，$\angle A+\angle B+\angle APB=180°$，所以 $\angle APB=180°-\angle A-\angle B$。又 $\angle CPD$ 與 $\angle APB$ 是對頂角，故 $\angle CPD=180°-\angle A-\angle B$。
3. 3

   下半部用外角拆開

   連 $\overline{EP}$ 並往 $P$ 的另一側延長到 $Q$。$\angle CPQ$ 是 $\triangle CEP$ 在 $P$ 的外角，等於兩個內對角的和：$\angle CPQ=\angle C+\angle CEP$；同理 $\angle DPQ=\angle D+\angle DEP$。
4. 4

   把下半部合起來

   因為 $\overrightarrow{PQ}$ 落在 $\angle CPD$ 內部，$\angle CPD=\angle CPQ+\angle DPQ=\angle C+\angle D+(\angle CEP+\angle DEP)=\angle C+\angle D+\angle E$。
5. 5

   兩半對接

   由上面兩段得 $\angle C+\angle D+\angle E=\angle CPD=180°-\angle A-\angle B$，移項得 $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=180°$。所以五個角的總和是 $180$ 度。

關鍵觀念：#三角形內角和 #外角