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113學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

三角形角平分求角度 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，ΔABC\Delta ABC 中，∠ACB=104°\angle ACB=104°，AF‾=AC‾\overline{AF}=\overline{AC}、BE‾=BC‾\overline{BE}=\overline{BC}，求 ∠ECF=\angle ECF=？
(A) 34°34°
(B) 38°38°
(C) 42°42°
(D) 46°46°
三角形 $ABC$，$C$ 在最上方，$A$、$E$、$F$、$B$ 依序在底邊上；圖中連有 $\overline{CE}$ 與 $\overline{CF}$，將底邊上方分成三個小三角形（$ACE$、$ECF$、$FCB$）。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先抓住兩底角的和

    △ABC\triangle ABC 中 ∠ACB=104°\angle ACB=104°，由內角和得 ∠A+∠B=180°−104°=76°\angle A+\angle B=180°-104°=76°。這題不需要知道 ∠A\angle A、∠B\angle B 各是多少，只要用到它們的和。
  2. 2

    左邊的等腰三角形

    AF‾=AC‾\overline{AF}=\overline{AC}，相等的兩邊交會在 AA，所以 △ACF\triangle ACF 是以 AA 為頂角的等腰三角形，兩底角是 ∠ACF\angle ACF 與 ∠AFC\angle AFC：∠ACF=180°−∠A2=90°−∠A2\angle ACF=\dfrac{180°-\angle A}{2}=90°-\dfrac{\angle A}{2}。
  3. 3

    右邊的等腰三角形

    BE‾=BC‾\overline{BE}=\overline{BC}，相等的兩邊交會在 BB，所以 △BCE\triangle BCE 是以 BB 為頂角的等腰三角形：∠BCE=180°−∠B2=90°−∠B2\angle BCE=\dfrac{180°-\angle B}{2}=90°-\dfrac{\angle B}{2}。
  4. 4

    找出重疊的那一塊

    AA、EE、FF、BB 依序在同一條直線上，所以 ∠ACF\angle ACF 與 ∠BCE\angle BCE 會有重疊，重疊的部分正是 ∠ECF\angle ECF。因此 ∠ACF+∠BCE=∠ACB+∠ECF\angle ACF+\angle BCE=\angle ACB+\angle ECF。
  5. 5

    代入求值

    ∠ACF+∠BCE=(90°−∠A2)+(90°−∠B2)=180°−76°2=180°−38°=142°\angle ACF+\angle BCE=\left(90°-\dfrac{\angle A}{2}\right)+\left(90°-\dfrac{\angle B}{2}\right)=180°-\dfrac{76°}{2}=180°-38°=142°。所以 ∠ECF=142°−104°=38°\angle ECF=142°-104°=38°。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#等腰三角形 #外角

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常見卡點
兩個等腰三角形的頂角分別在 AA 和 BB，底角才是 ∠ACF\angle ACF 和 ∠BCE\angle BCE。若誤把 ∠ACF\angle ACF 直接當成等於 ∠A\angle A，一路算下去會得到 ∠A+∠B−104°=−28°\angle A+\angle B-104°=-28° 這種負角，一出現負數就該回頭檢查底角的位置放對沒有。另一個關鍵是 ∠ACF\angle ACF 與 ∠BCE\angle BCE 是「重疊」不是「互補」，要相加後再減掉 ∠ACB\angle ACB，不是直接把兩者相減。

還是卡住嗎？

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