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113學年鷺江國中第2次段考數學 第9題 詳解

角平分線與面積求垂線長 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，AD‾\overline{AD} 為 ∠BAC\angle BAC 的角平分線，交 BC‾\overline{BC} 於 D 點，DE‾⊥AB‾\overline{DE}\perp\overline{AB}、DF‾⊥AC‾\overline{DF}\perp\overline{AC}，且 AB‾=12\overline{AB}=12、AC‾=16\overline{AC}=16。若 ΔABC\Delta ABC 的面積為 8484，則 DE‾=\overline{DE}=？
(A) 33
(B) 66
(C) 99
(D) 1212
三角形 $ABC$，$A$ 在上方，$B$、$D$、$C$ 依序在底邊上；$\angle BAD=\angle DAC$（以小圈標示相等）；$E$ 在 $\overline{AB}$ 上、緊鄰 $B$，並有直角記號標示 $\overline{DE}\perp\overline{AB}$；$F$ 在 $\Delta ADC$ 內側靠近 $\overline{AC}$ 處，並有直角記號標示 $\overline{DF}\perp\overline{AC}$；圖中連有 $\overline{AD}$、$\overline{DE}$、$\overline{DF}$。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    角平分線上的點到兩邊等距

    AD‾\overline{AD} 平分 ∠BAC\angle BAC，DE‾\overline{DE}、DF‾\overline{DF} 正是 DD 到兩邊的垂線段。由 ∠EAD=∠FAD\angle EAD=\angle FAD、∠AED=∠AFD=90°\angle AED=\angle AFD=90°、AD‾\overline{AD} 共用，得 △AED≅△AFD\triangle AED\cong\triangle AFD（AAS），所以 DE‾=DF‾\overline{DE}=\overline{DF}。
  2. 2

    把大三角形切成兩塊

    DD 在 BC‾\overline{BC} 上，連 AD‾\overline{AD} 後 △ABC\triangle ABC 被分成 △ABD\triangle ABD 和 △ACD\triangle ACD 兩塊，兩塊面積相加等於 8484。
  3. 3

    分別寫出兩塊的面積

    △ABD\triangle ABD 以 AB‾\overline{AB} 為底、DE‾\overline{DE} 為高，面積 =12×12×DE‾=\dfrac12\times12\times\overline{DE}；△ACD\triangle ACD 以 AC‾\overline{AC} 為底、DF‾\overline{DF} 為高，面積 =12×16×DF‾=\dfrac12\times16\times\overline{DF}。
  4. 4

    合併未知數求解

    因為 DE‾=DF‾\overline{DE}=\overline{DF}，可以合併成同一個未知數：12×12×DE‾+12×16×DE‾=84\dfrac12\times12\times\overline{DE}+\dfrac12\times16\times\overline{DE}=84，即 12×28×DE‾=14DE‾=84\dfrac12\times28\times\overline{DE}=14\overline{DE}=84，所以 DE‾=6\overline{DE}=6。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#角平分線 #三角形面積

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常見卡點
這題的鑰匙是「角平分線上的點到兩邊等距離」，有了 DE‾=DF‾\overline{DE}=\overline{DF} 才能把兩塊三角形的高併成同一個未知數。最常見的錯是列式時漏掉面積公式的 12\dfrac12，寫成 12DE‾+16DE‾=8412\overline{DE}+16\overline{DE}=84，算出 84÷28=384\div28=3 正好落在 (A)，特別容易中招。也有人只拿 AB‾=12\overline{AB}=12 一邊去算 12×12×DE‾=84\dfrac12\times12\times\overline{DE}=84 得到 1414，那是把整個三角形的面積都算到其中一塊上。

還是卡住嗎？

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