111學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

逐步解析

1. 1

   統一寫成同分母

   四個數的外表不一樣，直接比很容易看走眼。策略是全部整理成分母是 $5$ 的形式，分母一致之後只要比分子。$A=\frac{2}{5}$ 和 $C=\frac{\sqrt{2}}{5}$ 本來就是這個樣子，要處理的是 $B$ 和 $D$。
2. 2

   把 B 和 D 有理化

   $B=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。$D=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。現在四個數的分母都是 $5$ 了。
3. 3

   分子再收進根號

   分母都是正的 $5$，只要比分子誰大。把整數係數收進根號（係數要先平方）：$A$ 的分子 $2=\sqrt{4}$，$B$ 的分子 $2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\times 5}=\sqrt{20}$，$C$ 的分子是 $\sqrt{2}$，$D$ 的分子是 $\sqrt{10}$。
4. 4

   比根號裡的數

   四個分子都是非負數的算術根，這時根號裡的數越大，值就越大。因為 $20>10>4>2$，所以 $\sqrt{20}>\sqrt{10}>\sqrt{4}>\sqrt{2}$，對應回原來的代號就是 $B>D>A>C$。
5. 5

   用小數再確認

   取近似值檢查一次：$B=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx\frac{4.47}{5}\approx 0.89$，$D=\frac{\sqrt{10}}{5}\approx\frac{3.16}{5}\approx 0.63$，$A=\frac{2}{5}=0.4$，$C=\frac{\sqrt{2}}{5}\approx\frac{1.41}{5}\approx 0.28$，大小順序完全吻合。故由大至小依序為 $B>D>A>C$。

關鍵觀念：#根式大小比較 #分數比較

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