111學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

答案$\dfrac{12}{5}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   看懂桿子的角色

   伸縮桿立在 $D$ 點且隨時與地面垂直，兩條營繩都從桿頂拉到地面。以圖二為例，桿頂是 $A$，兩條繩的地面端是 $C$ 與 $B$，三點連起來就是 $\triangle ABC$；而桿子 $\overline{AD}$ 與地面垂直、$D$ 又在 $\overline{CB}$ 上，所以桿長正好是這個三角形「底邊 $\overline{CB}$ 上的高」。
2. 2

   垂直瞬間是直角

   題目問的是兩條營繩剛好互相垂直的那一刻。此時桿頂的那個角是 $90^\circ$，也就是 $\triangle ABC$ 變成直角三角形，兩條繩 $3$ 公尺與 $4$ 公尺就是它的兩股，地面上那一段則是斜邊。
3. 3

   先求地面那一段

   設地面那一段長為 $L$ 公尺，由畢氏定理 $L^2=3^2+4^2=9+16=25$，所以 $L=5$。這就是課本最熟悉的 $3$、$4$、$5$ 直角三角形。
4. 4

   面積算兩次求高

   同一個三角形，用不同的底與高去算，面積必須是同一個值。先用兩股當底和高：面積 $=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$。再用地面那段當底、桿長 $h$ 當高：面積 $=\frac{1}{2}\times 5\times h$。兩個算式相等，得 $\frac{1}{2}\times 5\times h=6$。
5. 5

   解出桿長

   由 $\frac{5h}{2}=6$，兩邊同乘 $2$ 得 $5h=12$，再同除以 $5$ 得 $h=\frac{12}{5}$。故當伸縮桿長度為 $\frac{12}{5}$ 公尺（也就是 $2.4$ 公尺）時，兩條營繩剛好呈現垂直狀態。

關鍵觀念：#畢氏定理 #應用問題 #動態幾何

同主題一起複習：平面幾何 →