111學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

逐步解析

1. 1

   先想邊長是多少

   正方形面積是 $13$，所以邊長是 $\sqrt{13}$。$13$ 不是完全平方，$\sqrt{13}$ 介於 $3$ 與 $4$ 之間，沿著格線永遠量不出來，必須靠畢氏定理「借」一條斜線：找兩個整數 $a$、$b$ 使 $a^2+b^2=13$。因為 $13=4+9=2^2+3^2$，所以兩股取 $2$ 與 $3$ 的直角三角形，斜邊長度正好是 $\sqrt{13}$。
2. 2

   在方格紙上畫斜邊

   在方格紙上取一個格點當作 $A$，選的時候讓 $A$ 的右邊至少留 $3$ 格、上方至少留 $5$ 格、左邊至少留 $2$ 格，等一下四個頂點才放得下。從 $A$ 出發，向右數 $3$ 格、再向上數 $2$ 格，到達的格點記為 $B$，用直尺把 $A$、$B$ 連起來。這條 $\overline{AB}$ 就是兩股為 $3$ 與 $2$ 的直角三角形斜邊，長度是 $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
3. 3

   把方向轉九十度

   正方形的下一條邊必須和 $\overline{AB}$ 等長且垂直。把「右 $3$、上 $2$」這個走法整個轉 $90^\circ$，兩個數字對調、其中一個方向反向，就變成「左 $2$、上 $3$」。於是從 $B$ 依「左 $2$、上 $3$」走到 $C$，從 $C$ 依「左 $3$、下 $2$」走到 $D$，最後從 $D$ 依「右 $2$、下 $3$」回到 $A$，剛好封閉。
4. 4

   寫出四個頂點

   以 $A$ 為原點建立格點坐標，四個頂點依序是 $A(0,0)$、$B(3,2)$、$C(1,5)$、$D(-2,3)$。用直尺把 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ 連起來。每一段都是兩股為 $2$、$3$ 的直角三角形斜邊，所以四邊等長，都是 $\sqrt{13}$。
5. 5

   四個角是直角

   這四個頂點剛好落在一個 $5\times 5$ 大正方形（從 $(-2,0)$ 到 $(3,5)$）的四條邊上，大正方形的四個角各被切掉一個兩股為 $2$、$3$ 的直角三角形，四個三角形完全相同。以 $A$ 為例，$A$ 左右兩側的角分別是同一種直角三角形的兩個銳角，而直角三角形的兩銳角相加是 $90^\circ$，所以圖形在 $A$ 的內角為 $180^\circ-90^\circ=90^\circ$。其餘三個頂點同理，四邊等長又四個角都是直角，畫出來的確實是正方形。
6. 6

   驗算面積

   再用扣除法檢查一次面積：大正方形面積 $5\times 5=25$，被切掉的四個直角三角形每個面積都是 $\frac{1}{2}\times 2\times 3=3$，四個合計 $12$。所以中間正方形的面積 $=25-12=13$，正是題目要的。擺法可以自己選，只要四個頂點都落在格點上、四邊都是斜的就行。例如畫出頂點為 $(0,0)$、$(3,2)$、$(1,5)$、$(-2,3)$ 的斜正方形，它的邊長是 $\sqrt{13}$、面積是 $13$。

關鍵觀念：#畢氏定理 #根式 #尺規作圖

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