113學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把角排出來

   用「大邊對大角」：$\overline{AB}$ 的對角是 $\angle C$、$\overline{BC}$ 的對角是 $\angle A$、$\overline{AC}$ 的對角是 $\angle B$。由 $\overline{AB}>\overline{BC}>\overline{AC}$ 得 $\angle C>\angle A>\angle B$。
2. 2

   角被平分後

   $\overline{AF}$、$\overline{BD}$、$\overline{CE}$ 分別平分 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$，所以 $\angle IAB=\angle IAC=\dfrac{\angle A}{2}$、$\angle IBA=\dfrac{\angle B}{2}$、$\angle ICA=\dfrac{\angle C}{2}$，大小順序仍是 $\dfrac{\angle C}{2}>\dfrac{\angle A}{2}>\dfrac{\angle B}{2}$。
3. 3

   在三角形ABI比

   在 $\triangle ABI$ 中，$\angle IAB$ 的對邊是 $\overline{BI}$，$\angle IBA$ 的對邊是 $\overline{AI}$。因為 $\dfrac{\angle A}{2}>\dfrac{\angle B}{2}$，由大角對大邊得 $\overline{BI}>\overline{AI}$。
4. 4

   在三角形ACI比

   在 $\triangle ACI$ 中，$\angle ICA$ 的對邊是 $\overline{AI}$，$\angle IAC$ 的對邊是 $\overline{CI}$。因為 $\dfrac{\angle C}{2}>\dfrac{\angle A}{2}$，由大角對大邊得 $\overline{AI}>\overline{CI}$。
5. 5

   合併結論

   由 $\overline{BI}>\overline{AI}$ 與 $\overline{AI}>\overline{CI}$ 串起來，得 $\overline{BI}>\overline{AI}>\overline{CI}$。

關鍵觀念：#角平分線 #三角形內心

同主題一起複習：平面幾何 → 排列組合 →